因式分解例题20道（待定系数法分解因式）

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1、（以下过程均是在实数范围内分解因式）解(1)x^5+x+1因为原式是5次式所以若原式可以因式分解，则一定可以分解为 一个2次式因式和一个3次因式，或者一个1次因式和一个4因式若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：由于原式最高次项是x^5，最低次项(常数项)是1，所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积，且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1由于原式的2、3、4次项的系数都是0，1次项系数是1所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：a+c=0ac+b+1=0bc+a+1=0b+c=1如果此方程组无解，则说明原式不可因式分解。

2、（从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，若等号恰好成立，则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立，则说明该方程组无解）但此题恰好有解，解得a=-1，b=0，c=1所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)检验：分解是否彻底因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解对于因式x^3-x^2+1，也可以用待定系数法设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1所以m+1=-1m+1=0显然无解。

3、所以x^3-x^2+1不能继续分解。

4、所以分解已经彻底若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1所以：a+1=0a+b=0b+c=0c+1=1次方程组无解所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式综上所述，原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)(2)x^5+x^4+1同上题理若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1方程组：a+c=1ac+b+1=0bc+a+1=0b+c=0解该方程组的方法同上，即从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，恰好能使等号成立。

5、所以最后解得a=0，b=-1，c=1所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)检验分解是否彻底”因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解对于因式x^3-x+1，设其(x^2+mx+1)(x+1)=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1所以m+1=0m+1=-1显然无解。

6、所以x^3-x+1不能因式分解所以分解已彻底若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1方程组为：a+1=1a+b=0b+c=0c+1=0该方程组无解，说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式综上所述，原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)。

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