2次函数的知识点（2次函数知识点）

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1、1.定义:2.二次函数 的性质(1)抛物线 y=ax^2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.(2)函数 的图像与 a的符号关系.①当 a>0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点;②当 a<0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) y轴的抛物线.4.二次函数 用配方法可化成:y=a(x+h)^2+k 的形式 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:① y=ax^2;②y=ax^2+bx ;③y=ax^2+c ;④y=ax^2+bx+c .6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.① 决定抛物线的开口方向:当a>0 时。

2、开口向上;当a<0 时，开口向下; a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于 y轴(或重合)的直线记作 x=0.特别地。

3、x 轴记作直线y=07.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

4、只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法: 顶点是(-b/2a,(4ac+b^2)/4a) ，x=-b/2a对称轴是直线 .(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y=a(x+h)^2+k的形式，得到顶点为(-h ,k )。

5、对称轴是 x=-h(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点。

6、再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线 中，a 的作用(1) 决定开口方向及开口大小(2) 和 b、c共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故:①b=0 时。

7、对称轴为 y轴;② ab 同号时,对称轴在 y轴左侧;③ ab 异号时,对称轴在 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线 与y 轴交点的位置.∴抛物线 与y 轴有且只有一个交点(0，c ):①c=0抛物线经过原点; ② ,与 x轴交于正半轴;③ ,与 x轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时。

8、仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: .已知图像上三点或三对abc 的值，通常选择一般式. (2)顶点式: .已知图像的顶点或对称轴。

9、通常选择顶点式.12.直线与抛物线的交点 (1) y轴与抛物线 得交点为(0,c ) (2)与 y轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 (3)抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 (x1,0)、(x2,0) ，是对应一元二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点 判别式>0 抛物线与 x轴相交;②有一个交点(顶点在 x轴上) 抛物线与 x轴相切;③没有交点 抛物线与x 轴相离.(4)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点;③方程组无解时 与 没有交点.13.二次函数与一元二次方程的关系:(1)一元二次方程 就是二次函数 当函数y的值为0时的情况.(2)二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数 的图象与 轴有交点时。

10、交点的横坐标就是当 时自变量 的值，即一元二次方程 的根.(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程 有两个不相等的实数根;当二次函数 的图象与 轴有一个交点时。

11、则一元二次方程 有两个相等的实数根;当二次函数 的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根14.二次函数的应用:(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.15.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性。

12、对问题加以拓展等.。

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