【大学微积分必背公式】微积分是大学数学课程中的核心内容，无论是理工科还是经济类专业，都离不开对微积分知识的掌握。为了帮助学生高效复习、快速记忆，本文整理了大学微积分中一些必须掌握的重要公式，便于学习和考试时参考。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ |
三、常用微分法则
1. 导数的四则运算
- $ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- $ (uv)' = u'v + uv' $
- $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
2. 链式法则
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
3. 隐函数求导
对于方程 $ F(x, y) = 0 $，可两边对 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $
四、常见泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 展开式（在 $ x=0 $ 处） | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $（$ | x | < 1 $） |
五、积分方法总结
| 方法 | 适用情况 |
| 换元积分法 | 被积函数为复合函数或含变量替换的情况 |
| 分部积分法 | 形如 $ \int u dv $ 的形式，适用于多项式乘三角函数等 |
| 有理函数分解 | 分母为多项式的积分，可拆分为部分分式 |
| 三角代换 | 被积函数含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $ 等形式 |
| 特殊函数积分 | 如 $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx $、$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx $ 等标准形式 |
六、微积分应用常见公式
1. 面积计算：
$ A = \int_a^b f(x) dx $
2. 体积计算（旋转体）：
$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $
3. 弧长公式：
$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $
4. 平均值公式：
$ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $
通过以上公式的整理，可以帮助学生在学习过程中更系统地掌握微积分的核心内容。建议结合例题进行练习，加深理解，提高解题能力。