【威尔斯特拉斯函数】威尔斯特拉斯函数是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的一个著名数学函数，是第一个被正式构造出来的处处连续但处处不可导的函数。这一发现打破了当时人们对“连续函数必可导”的直观认识，对分析学的发展起到了重要的推动作用。
该函数的构造基于一个无限级数，形式为：
$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
$$
其中 $ 0 < a < 1 $，$ b $ 是一个奇整数，并且满足 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $。这种构造方式使得函数在任何一点上都没有导数，从而成为数学史上一个具有里程碑意义的例子。
表格：威尔斯特拉斯函数关键信息
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | 威尔斯特拉斯函数 |
| 提出者 | 卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass） |
| 提出时间 | 19世纪 |
| 数学性质 | 处处连续，但处处不可导 |
| 函数表达式 | $ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $ |
| 参数条件 | $ 0 < a < 1 $，$ b $ 为奇整数，且 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $ |
| 意义 | 突破了“连续即光滑”的传统观念，推动了数学分析的发展 |
| 应用领域 | 数学分析、分形几何、混沌理论等 |
结语：
威尔斯特拉斯函数不仅是数学史上的一个重要里程碑，也启发了后来许多关于函数性质的研究。它展示了数学中某些看似简单的结构可能隐藏着极为复杂的特性，进一步丰富了人们对数学世界的理解。