写证明的格式
证明的格式与示例：关于“数学归纳法”的应用
引言
在数学中，证明是一种严谨而重要的方法，用于验证某一命题的真实性。其中，数学归纳法是一种常用的证明技巧，广泛应用于数列、不等式等领域。本文将通过一个具体例子，展示如何正确地运用数学归纳法进行证明，并阐述其格式要求。
定理陈述
设 \( P(n) \) 是一个关于正整数 \( n \) 的命题。如果满足以下两个条件：
1. 当 \( n = 1 \) 时，\( P(1) \) 成立；
2. 假设当 \( n = k \)（\( k \geq 1 \)）时 \( P(k) \) 成立，则可以推导出 \( P(k+1) \) 也成立，
那么对于所有正整数 \( n \)，命题 \( P(n) \) 都成立。
示例证明：证明公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \)
我们尝试用数学归纳法证明自然数前 \( n \) 项和公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \) 对任意正整数 \( n \) 成立。
证明步骤
第一步：基础步骤
当 \( n = 1 \) 时，左侧为 \( S_1 = 1 \)，右侧为 \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \)。显然，左侧等于右侧，因此 \( P(1) \) 成立。
第二步：归纳假设
假设当 \( n = k \)（\( k \geq 1 \)）时，命题成立，即
\[
S_k = \frac{k(k+1)}{2}.
\]
第三步：归纳步骤
接下来需要证明当 \( n = k+1 \) 时，命题同样成立。根据定义，有
\[
S_{k+1} = S_k + (k+1).
\]
利用归纳假设 \( S_k = \frac{k(k+1)}{2} \)，代入得
\[
S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).
\]
将右边化简为单一分数形式：
\[
S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.
\]
这表明当 \( n = k+1 \) 时，公式依然成立。
第四步：结论
由数学归纳法原理可知，对于所有正整数 \( n \)，公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \) 都成立。
总结
本文展示了数学归纳法的基本格式和具体应用。证明过程中，必须清晰地写出基础步骤、归纳假设以及归纳步骤，并确保逻辑连贯且无误。这种严格的推理方式不仅能够增强数学论证的能力，还能帮助理解问题的本质。希望读者能从中受益，在未来的学习或研究中灵活运用这一工具。
最终答案：
\boxed{\text{公式 } S_n = \frac{n(n+1)}{2} \text{ 对任意正整数 } n \text{ 成立。}}
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