问数列求和公式

【数列求和公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。对数列进行求和是常见的问题之一，不同的数列类型有不同的求和方法。本文将总结几种常见数列的求和公式，并以表格形式清晰展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a + (n - 1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2} \times (a + a_n) = \frac{n}{2} \times [2a + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = ar^{n-1} $。

求和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$

S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r < 1 $ 且 $ n \to \infty $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是从 1 开始的连续正整数序列：$ 1, 2, 3, ..., n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是各项为自然数的平方：$ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是各项为自然数的立方：$ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

数列求和公式汇总表

通过掌握这些基本的数列求和公式，可以快速解决许多实际问题，如计算工资增长、利息累积、几何面积等。在学习过程中，建议结合具体例子进行练习，以加深理解。