r 实数集包括什么 实数集组成详解

大写 R 代表的实数集，就是全部实数组成的集合，实数集里面包含有理数和无理数两大类，有理数又分成整数和分数，无理数就是无限不循环小数，像圆周率派还有开方开不尽的数都属于无理数，实数集不包含虚数，这点是最容易混淆的地方，在数轴上每一个实数都可以对应数轴上唯一的一个点，反过来数轴上每一个点也都对应一个实数，也就是实数和数轴上的点是一一对应的，初中高中数学做题的时候，题目写 x 属于 R，意思就是 x 的取值范围是全体实数，下面分层拆解实数集内部的分类，区分容易搞错的概念，同时说明实数集相关衍生记号和性质。

实数集内部分类

有理数 可以写成两个整数相除形式的数，也就是 p 除以 q，其中 q 不等于 0

整数 正整数 零 负整数，例如 1 2 0 -3 -5

分数 包含正分数负分数，有限小数和无限循环小数都可以转化成分数，所以都归到有理数

无理数 不能写成两个整数相除，特点是无限不循环小数，常见类型有三类

第一类 开方开不尽的数，比如根号 2 根号 3

第二类 特殊常数，比如圆周率派，自然对数底 e

第三类 构造型无限不循环小数，例如 0.1010010001 这种每两个 1 之间多一个 0 的小数

实数集衍生记号

R 全体实数

R 星号 也就是去掉 0 的全体实数，非零实数集

R 正 全体正实数

R 负 全体负实数

实数集核心性质

有序性 任意两个实数都可以比较大小

稠密性 任意两个实数中间，还存在无穷多个实数

完备性 实数集是完备的，所有收敛的实数数列极限仍然属于实数集，有理数集就不具备完备性

四则运算封闭性 任意两个实数做加减乘除，除数不为 0，运算结果仍然是实数

分类对照表

易混概念区分

自然数集 N 是实数集的子集，自然数全部属于实数集

复数集 C 范围比实数集更大，复数等于实部加虚部乘以 i，当虚部等于 0 的时候，这个复数才是实数，虚部不为 0 就不属于实数集

无限小数不一定是无理数，无限循环小数属于有理数，只有无限不循环才是无理数

【常见问题】

问题 1 r 实数集包括虚数吗

回答 1 r 实数集不包含虚数，虚数属于复数范畴，只有虚部等于 0 的复数才属于 r 实数集，带 i 的纯虚数不属于 r 实数集。

问题 2 r 实数集里面的 0 是不是属于有理数

回答 2 r 实数集里面的 0 属于有理数，0 是整数，整数归属于有理数，所以 0 是 r 实数集里面的元素。

问题 3 题目写 x 属于 r 实数集，是不是 x 可以取任意数值

回答 3 题目写 x 属于 r 实数集，代表 x 的取值范围是全部 r 实数集里面的数，但是如果题目还有额外限制条件，比如分母不能为 0，就需要在 r 实数集基础上排除特殊数值。

【免责申明】

本文仅为数学概念科普讲解，不同教材表述细节略有差异，正式考试答题请以课本和考纲定义为准，本文内容不替代专业数学教学判定。