n 次方差公式记忆口诀 代数因式分解速记

n 次方差也就是 a 的 n 次方减 b 的 n 次方的因式分解公式，核心公式是 aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+……+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)，配套记忆口诀可以帮助快速写出展开结构，口诀核心思路就是差乘和，首降次，尾升次，全是加号，很多同学背这个公式容易出错，主要是搞不清符号，还有分不清 n 是奇数还是偶数能不能分解，也会把 n 次方差和 n 次和弄混，n 次方差不管 n 是奇数还是偶数，都一定可以分解出 a 减 b 这个因式，后面那一长串多项式全部都是加号连接，这个是最关键的特点，和 n 次和不一样，n 次和只有 n 为奇数的时候，才能分解出 a 加 b 因式。之所以要专门做记忆口诀，是因为后面连加项很多，指数变化有规律，纯硬背很容易漏掉项，或者把指数写反，口诀就是抓住指数升降的规律，a 的指数从 n 减 1 一直降到 0，b 的指数从 0 一直升到 n 减 1，两项指数相加永远等于 n 减 1，所有中间项符号都是正号。想要熟练运用 n 次方差公式记忆口诀，第一步先读懂口诀含义，第二步记住前提，aⁿ减 bⁿ永远可以提取 a 减 b，第三步练习代入 n 等于 3 n 等于 4 这类数字，对照公式展开验算，第四步区分 n 次方差和 n 次和，避免符号混淆，第五步做题的时候先确认指数，再按照升降指数规律补齐中间各项。综合来看，n 次方差公式记忆口诀重点就是抓住 a 减 b 作为首因式，后面连加多项式指数一降一升，全程加号，理解指数规律之后，就算忘记完整口诀也可以自己把公式写出来。

一 记忆口诀原文

差在前，和在后

a 降次，b 升次

指数和，n 减一

中间项，全加号

二 口诀逐句解读

差在前，和在前的 a 减 b 放在最前面作为第一个因式

a 降次，b 升次，后面括号里面，a 的幂次逐步降低，b 的幂次逐步升高

指数和，n 减一，每一项里面 a 的指数加上 b 的指数，总和固定等于 n 减 1

中间项，全加号，括号内所有项之间全部使用加号，不会出现减号

三 典型例题展开对照表

四 高频易错点

1 混淆 n 次方差和 n 次和，n 次和是 aⁿ+bⁿ，只有 n 奇数才有 a+b 因式，n 次方差不管奇偶都有 a−b 因式

2 错误在中间项添加减号，n 次方差后面连加部分全部是加号，这点和立方差之外很多同学会下意识写减号

3 指数计算错误，最后一项是 b 的 n 减 1 次方，第一项是 a 的 n 减 1 次方，不要写成 n 次方

4 注意适用范围，公式是实数域因式分解，高中数学做题默认这个分解形式

【常见问题】

问题 1 n 次方差公式记忆口诀 为什么 n 是偶数也可以分解 aⁿ−bⁿ

回答 1 n 次方差公式记忆口诀对应的 n 次方差，不管 n 是奇数还是偶数，aⁿ−bⁿ都可以分解出 a 减 b 因式，口诀里面全加号的连加部分依旧成立，和 n 次和不一样，n 次和偶数 n 的时候不能分解出 a 加 b。

问题 2 n 次方差公式记忆口诀 立方差是不是这个公式的特例

回答 2 n 次方差公式记忆口诀对应的通用公式，立方差 a³−b³ 就是 n 等于 3 的特例，代入口诀，首因式 a 减 b，后面是 a² 加 ab 加 b²，完全符合口诀升降指数全加号的规律。

问题 3 n 次方差公式记忆口诀 可以用来做分式约分吗

回答 3 n 次方差公式记忆口诀对应的 n 次方差公式，经常用在分式约分，分子分母同时含有 a 减 b 因式的时候，可以利用 n 次方差展开之后消掉 a 减 b，是代数化简高频考点。

【免责申明】

本文属于高中代数因式分解学习科普，口诀属于辅助记忆方式，正式答题以教材标准公式书写为准，特殊复数域分解不在本文讨论范围，内容仅作为学习参考。